* Ý nghĩa hình học của đạo hàm

Đạo hàm của hàm số $y = f\left( x \right)$ tại điểm ${x_o}$ là hệ số góc của tiếp tuyến với đồ thị $(C)$ của hàm số tại điểm ${M_o}\left( {{x_o};f\left( {{x_o}} \right)} \right).$ Khi đó phương trình tiếp tuyến của $(C)$ tại điểm ${M_o}\left( {{x_o};f\left( {{x_o}} \right)} \right)$ là:

$y - {y_o} = f'\left( {{x_o}} \right).\left( {x - {x_o}} \right),\left( {{y_o} = f\left( {{x_o}} \right)} \right)$

Dạng 1. Lập phương trình tiếp tuyến của đường cong $\left( C \right):y = f\left( x \right)$

1. Bài toán 1. Viết phương trình tiếp tuyến $\Delta $ của $\left( C \right):y = f'\left( x \right)$ tại điểm ${M_o}\left( {{x_o};{y_o}} \right).$

* Nếu cho ${x_o}$ thì tìm ${y_o} = f\left( {{x_o}} \right).$

Nếu cho ${y_o}$ thì tìm ${x_o}$ là nghiệm của phương trình $f\left( x \right) = {y_o}.$

* Tính $y' = f'\left( x \right)$. Suy ra $y'\left( {{x_o}} \right) = f'\left( {{x_o}} \right).$

* Phương trình tiếp tuyến $\Delta $ là:

$y - {y_o} = f'\left( {{x_o}} \right).\left( {x - {x_o}} \right)$

2. Bài toán 2. Viết phương trình tiếp tuyến $\Delta $ của $\left( C \right):y = f'\left( x \right)$, biết $\Delta $ có hệ số góc $k$ cho trước.

Cách 1. Tìm tọa độ tiếp điểm

* Gọi $M\left( {{x_o};{y_o}} \right)$ là tiếp điểm. Tính $f'\left( {{x_o}} \right).$

* $\Delta $ có hệ số góc $k$ $ \Rightarrow f'\left( {{x_o}} \right) = k\left( 1 \right).$

* Giải phương trình (1), tìm được ${x_o}$ và tính ${y_o} \Rightarrow f\left( {{x_o}} \right).$ Từ đó viết phương trình của $\Delta .$

Cách 2.Dùng điều kiện tiếp xúc  

* Phương trình đường thẳng $\Delta $ có dạng:

$y = kx + m$

* $\Delta $ tiếp xúc với $\left( C \right)$ khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
      {f\left( x \right) = kx + m}\\
      {f'\left( x \right) = k}
      \end{array}} \right.\left( * \right)$

* Giải hệ (*) tìm được $m$. Từ đó viết phương trình của $\Delta .$

Chú ý: Hệ số góc $k$ của tiếp tuyến $\Delta $ có thể được cho gián tiếp như sau:

• $\Delta $ tạo với chiều dương trục hoành góc $\alpha $ thì $k = \tan \alpha .$
• $\Delta $ song song với đường thẳng $d:y = ax + b$ thì $k = a.$
• $\Delta $ vuông góc với đường thẳng $d:y = ax + b\left( {a \ne 0} \right)$ thì $k =  - \frac{1}{a}.$
• $\Delta $ tạo với đường thẳng $d:y = ax + b$ một góc $\alpha $ thì $\left| {\frac{{k - a}}{{1 + ka}}} \right| = \tan \alpha .$

3. Bài toán 3. Viết phương trình tiếp tuyến $\Delta $ của $\left( C \right):y = f'\left( x \right)$, biết $\Delta $đi qua điểm $A\left( {{x_A};{y_A}} \right).$

Cách 1. Tìm tọa độ tiếp điểm

* Gọi $M\left( {{x_o};{y_o}} \right)$ là tiếp điểm. Khi đó:

${y_o} = f\left( {{x_o}} \right),y{'_o} = f'\left( {{x_o}} \right).$

* Phương trình tiếp tuyến $\Delta $ tại $M$:

$y - {y_o} = f'\left( {{x_o}} \right).\left( {x - {x_o}} \right)$

* $\Delta $ đi qua $A\left( {{x_A};{y_A}} \right)$ và có hệ số góc $k:y - {y_A} = k\left( {x - {x_A}} \right)$ (1)

* Giải phương trình (1) tìm được ${x_o}$. Từ đó viết phương trình của $\Delta .$

Cách 2. Dùng điều kiện tiếp xúc

* Phương trình đường thẳng $\Delta $ đi qua $A\left( {{x_A};{y_A}} \right)$ và có hệ số góc $k:y - {y_A} = k\left( {x - {x_A}} \right)$

* $\Delta $ tiếp xúc $\left( C \right)$ khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
{f\left( x \right) = k\left( {x - {x_A}} \right) + {y_A}}\\
{f'\left( x \right) = k}
\end{array}} \right.\left( * \right)$

* Giải hệ (*) tìm được $x$ suy ra $k$. Từ đó viết phương trình tiếp tuyến $\Delta .$

Dạng 2. Tìm điều kiện để hai đường tiếp xúc

Điều kiện cần và đủ để hai đường $\left( {{C_1}} \right):y = f\left( x \right)$ và $\left( {{C_2}} \right):y = g\left( x \right)$ tiếp xúc nhau là hệ phương trình sau có nghiệm:

$\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
      {f\left( x \right) = g\left( x \right)}\\
      {f'\left( x \right) = g'\left( x \right)}
      \end{array}} \right.\left( * \right)$

Nghiệm của hệ (*) là hoành độ của tiếp điểm của hai đường trên.

Dạng 3. Tìm những điểm trên đường thẳng $d$ mà từ đó có thể vẽ được 1, 2, 3... tiếp tuyến với đồ thị $\left( C \right):y = f\left( x \right)$

Giả sử $d:y = ax + by + c = 0.$ $M\left( {{x_M};{y_M}} \right) \in d.$

* Phương trình đường thẳng $\Delta $ qua $M$ có hệ số góc $k:y = k\left( {x - {x_M}} \right) + {y_M}$

* $\Delta $ tiếp xúc với $\left( C \right)$ khi hệ sau có nghiệm:

       $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
       {f\left( x \right) = k\left( {x - {x_M}} \right) + {y_M}\left( 1 \right)}\\
       {f'\left( x \right) = k\left( 2 \right)}
       \end{array}} \right.$

* Thế $k$ từ (2) vào (1) ta được:

$f\left( x \right) = \left( {x - {x_M}} \right).f'\left( x \right) + {y_M}$ (3)

* Số tiếp tuyến của $\left( C \right)$ vẽ từ $M$ bằng số nghiệm $x$ của phương trình (3).

Dạng 4. Tìm những điểm mà từ đó có thể vẽ được 2 tiếp tuyến với đồ thị $\left( C \right):y = f\left( x \right)$ và 2 tiếp tuyến đó vuông góc với nhau

Gọi $M\left( {{x_M};{y_M}} \right)$

* Phương trình đường thẳng $\Delta $ qua $M$ có hệ số góc $k:y = k\left( {x - {x_M}} \right) + {y_M}$

* $\Delta $ tiếp xúc với $\left( C \right)$ khi hệ sau có nghiệm:

       $\left\{ {\begin{array}{*{20}{l}}
       {f\left( x \right) = k\left( {x - {x_M}} \right) + {y_M}\left( 1 \right)}\\
       {f'\left( x \right) = k\left( 2 \right)}
       \end{array}} \right.$

* Thế $k$ từ (2) vào (1) ta được:

$f\left( x \right) = \left( {x - {x_M}} \right).f'\left( x \right) + {y_M}$ (3)

* Qua $M$ vẽ được 2 tiếp tuyến với $(C)$ $ \Leftrightarrow $ (3) có 2 nghiệm phân biệt ${x_1},{x_2}$

* Hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau

$ \Leftrightarrow f'\left( {{x_1}} \right).f'\left( {{x_2}} \right) =  - 1.$

Từ đó tìm được $M$

Chú ý:

Qua $M$ vẽ được hai tiếp tuyến với $(C)$ sao cho 2 tiếp điểm nằm về hai phía với trục hoành thì (3) có 2 nghiệm phân biệt và $f\left( {{x_1}} \right).f\left( {{x_2}} \right) < 0.$